おはようございます！
ゆきちゃんママです！
前回は、標準化のお話をしました。
英語86点、数学44点という点数だけを見ると、英語の方が得意そうに見えるけれど、平均点や標準偏差まで考えると、実は数学の方が集団の中では高い位置にいるかもしれない。
そんな話でした。
そして、そのときに少し登場したのが、標準得点です。
今日は、その補足として、標準得点についてもう少し詳しく整理していきたいと思います。
標準得点がわかると、よく聞く偏差値の意味もかなり見えやすくなります。
- 標準得点とは？
- 標準化すると、平均は0、標準偏差は1になる
- 標準得点の読み方
- 標準得点が大きいほど、集団の中で高い位置にいる
- 標準得点は便利。でも少し読みにくい
- 偏差値は、標準得点を見やすくしたもの
- 偏差値の読み方
- まず標準得点、それから偏差値
- まとめ
標準得点とは？
まず、標準得点について整理しておきます。
標準得点は、z得点とも呼ばれます。
これは、あるデータが平均から見てどのくらい離れているのかを、標準偏差を基準にして表した値です。
前回の記事でも書いたように、単に点数だけを見ても、その点数が高いのか低いのかは判断しにくいことがあります。
たとえば、80点でも、平均点が90点なら少し低い点数です。
でも、平均点が50点なら、かなり高い点数になります。
さらに、同じ「平均より10点高い」でも、点数のばらつきが大きいテストなのか、小さいテストなのかによって、その意味は変わってきます。
そこで、平均と標準偏差を使って、
平均との差が、標準偏差何個分にあたるのか
を表したものが、標準得点です。
標準化すると、平均は0、標準偏差は1になる
標準化すると、元の点数そのものではなく、
平均からどれくらい離れているか
を、標準偏差を基準にした共通のものさしで表すことができます。
このとき、標準化した得点全体には、次のような特徴があります。
- 平均が0になる
- 標準偏差が1になる
つまり、標準得点では、平均を基準点の「0」として考えます。
そして、平均からどのくらい離れているかを、標準偏差何個分かで表します。
ちょっと言い換えると、
どんなデータでも、同じ基準で比べられるように整えた値
ということです。
これが標準得点です。
標準得点の読み方
では、標準得点はどのように読めばよいのでしょうか。
基本的には、次のように考えるとわかりやすいです。
- z = 0 は、平均と同じ
- z = 1 は、平均より1標準偏差高い
- z = -1 は、平均より1標準偏差低い
- z = 2 は、平均より2標準偏差高い
- z = -2 は、平均より2標準偏差低い
つまり、標準得点は、
平均との差が、標準偏差何個分か
をそのまま表しています。
たとえば、z = 1.5 なら、平均より1.5標準偏差分高いという意味です。
z = -0.5 なら、平均より0.5標準偏差分低いという意味になります。
このように見ると、標準得点は、ただの謎の数字ではなく、
「平均からどのくらい離れているか」
をかなり直接的に表している値だとわかります。
標準得点が大きいほど、集団の中で高い位置にいる
標準得点の値が大きいほど、そのデータは集団の中で相対的に高い位置にあります。
逆に、標準得点が小さいほど、集団の中で相対的に低い位置にあるということになります。
ここで大事なのは、標準得点は相対的な位置を表しているということです。
元の点数が高いか低いかではなく、
その集団の中で見ると、どのくらい高いのか、低いのか
を見ているわけです。
だからこそ、標準得点に直すと、
- 他の人と比較できる
- 他の科目とも比較できる
- テストの難しさが違っても比較しやすい
- 点数のばらつきが違っても比較しやすい
というメリットがあります。
これが、標準化の便利なところです。
標準得点は便利。でも少し読みにくい
ただし、標準得点には少し読みにくいところもあります。
たとえば、
- z = 0.8
- z = -0.3
- z = 1.6
と言われても、慣れていないと少しピンときにくいですよね。
「平均より0.8標準偏差分高いです」
と言われても、なんとなくわかるような、わからないような。
統計ではとても便利な値なのですが、日常的に使うには少し直感的ではないかもしれません。
そこで、標準得点をもう少し見やすく変換したものがあります。
それが、偏差値です。
偏差値は、標準得点を見やすくしたもの
偏差値は、標準得点を日常的に読み取りやすい形に変換したものです。
式で書くと、次のようになります。
偏差値 = 標準得点 \times 10 + 50
なぜこのように変換するかというと、標準得点は平均が0、標準偏差が1になる値だからです。
平均が0というのは、統計的には扱いやすいのですが、日常的には少し見慣れません。
そこで偏差値では、
- 平均が50
- 標準偏差が10
になるように変換します。
平均を50にしておくと、
「50なら平均くらい」
と直感的にわかりやすくなります。
そして、標準偏差を10にしておくと、
「60なら平均より少し高い」
「40なら平均より少し低い」
という形で読み取りやすくなります。
偏差値の読み方
偏差値は、次のように読むことができます。
- 偏差値50：平均
- 偏差値60：平均より1標準偏差高い
- 偏差値40：平均より1標準偏差低い
- 偏差値70：平均より2標準偏差高い
- 偏差値30：平均より2標準偏差低い
これは、偏差値が
平均50、標準偏差10
になるように作られているからです。
つまり、標準得点と偏差値は、次のように対応します。
- z = 0 → 偏差値50
- z = 1 → 偏差値60
- z = -1 → 偏差値40
- z = 2 → 偏差値70
- z = -2 → 偏差値30
こうして見ると、偏差値は標準得点をかなり読みやすくしたものだとわかります。
まず標準得点、それから偏差値
最後に、標準化から偏差値までの流れを整理しておきます。
まず、標準得点は次の式で求めます。
標準得点 = \frac{各データ - 平均}{標準偏差}
これは、
平均との差を出して、それを標準偏差で割る
という計算です。
この計算によって、
そのデータが平均から標準偏差何個分離れているのか
がわかります。
そして、その標準得点をもとに、偏差値を求めます。
偏差値 = 標準得点 \times 10 + 50
つまり、流れとしては、
- まず平均との差を出す
- それを標準偏差で割って、標準得点を出す
- 標準得点を見やすく変換して、偏差値にする
ということになります。
まとめ
今日は、標準得点と偏差値について整理してみました。
標準得点は、あるデータが平均からどのくらい離れているかを、標準偏差を基準にして表した値です。
標準得点を使うと、
平均との差が、標準偏差何個分にあたるのか
がわかります。
そして、標準得点に変換すると、平均は0、標準偏差は1になります。
ただ、標準得点は少し見慣れない数字なので、日常的には少しわかりにくいところがあります。
そこで、標準得点を
平均50、標準偏差10
になるように変換したものが、偏差値です。
偏差値50なら平均。
偏差値60なら平均より1標準偏差分高い。
偏差値40なら平均より1標準偏差分低い。
こう考えると、偏差値の意味も少し見えやすくなります。
標準得点も偏差値も、どちらも大事なのは、
その点数が、集団の中でどのくらいの位置にあるのかを見るためのもの
だということです。
点数そのものだけでは見えないものを、平均や標準偏差を使って見えやすくする。
これが、標準化の考え方です。
