リンク関数ってなんだっけ？

おはようございます！

ゆきちゃんママです😊

先日書いた「GLM（一般化線形モデル）」の記事、たくさん読んでいただきありがとうございます！

yukichan-mama.com

……なのですが！

読んだハズバンドからメッセージが。

「リンク関数の説明がないやん！もしかして、もう初心者の気持ち、忘れちゃったの？」

……はい、すみません💦

書き忘れです！（初心者の気持ちはちゃんと覚えてます！笑）

というわけで、今日は「リンク関数とは何か」をテーマにお話しします。

まずおさらい：「確率分布」って何？

GLMではまず、「このデータはどんな分布から生まれているのかな？」と考えます。

これが確率分布です。

たとえば——

サイコロなら「出る目（1〜6）」と「それぞれの確率（1/6）」がセットになっていますよね。

それを一般化したものが確率分布。

実際のデータでは、

正規分布（二値や平均まわりのデータ）、

ポアソン分布（カウントデータ）、

ガンマ分布（正の連続値）などを使い分けます。

リンク関数とは？

では、いよいよ今日の本題。

リンク関数（link function）とは、

簡単に言えば——

データの平均（＝期待値）と、説明変数を「うまくつなぐための変換」のこと！

GLMは、

「分布の形」と「説明変数との関係」を別々に考えるのがポイント。

その“関係”を結びつけてくれるのが、リンク関数なんです。

たとえばこう！

① 普通の線形回帰

Y = β₀ + β₁×X

という形で、Yそのものが説明変数の線形結合で表されます。

でもこれ、Yがマイナスになってもいい場合じゃないと困ります。

（人数とか確率とか、マイナスはありえないですよね。）

だから、GLMでは「Yをそのまま使う」代わりに、

Yを変換した形（リンク関数）を使うんです。

ポアソン回帰：カウントデータにぴったり

来店人数や正答数など、0以上の整数しかとらないデータは、ポアソン分布でしたよね。

ここでは 対数リンク関数（logリンク） というのを使います。

log(λ) = β₀ + β₁×X

こうすると、どんなXでも λ = exp(β₀ + β₁×X) なので、

常に0より大きい値が出ます。

負の人数なんてありえない！をちゃんと守ってくれるんですね😊

ロジスティック回帰：はい／いいえの世界

「合格／不合格」「買う／買わない」みたいに、0か1の二値データ。

ここでは確率p（＝1になる確率）を扱います。

このとき使うのが ロジットリンク関数（logitリンク）。

log(p / (1 - p)) = β₀ + β₁×X

この変換を使うと、どんなにXが大きくても、

pは0〜1の間にちゃんと収まります✨

ガンマ回帰：正の連続値に

金額や反応時間のように、「0より大きい値しかとらないデータ」。

ここでも対数リンクがよく使われます。

「値のスケールが大きく違う」データにもぴったり。

ちょっと補足

リンク関数については、本当は「どんな式でどう使うか」まで理解できるのが理想です。

でも、最初のうちはそこまで気にしなくて大丈夫！

実は、どんな分布のときにどんなリンク関数を使うかという“お決まりの組み合わせ”があるので、

まずはその対応関係を覚えておくだけでもOKです😊

（ポアソン分布なら対数リンク、二項分布ならロジットリンク……という感じですね✨）

まとめ：GLMの分布とリンク関数の対応

データのタイプ	分布	リンク関数	理由
カウント（人数など）	ポアソン分布	対数リンク log(μ)	平均が0より大きい値しかとれない
二値（はい／いいえ）	二項分布	ロジットリンク log(p/(1-p))	確率を0〜1に収める
正の連続値（時間・金額）	ガンマ分布	対数リンク log(μ)	負の値にならない

まとめの一言

リンク関数とは、「非線形な確率の世界」を「線形モデルの世界」に“橋渡し”するための関数。

だから私は、「確率を線形にするための関数」くらいに覚えています😊

難しい言葉で正確に言うと、「平均を線形予測子に変換して結びつける関数」だそうですが……なんかちょっと難しい気がしますよね😂

今はこのくらいでOK！

そのうち自然に、

「リンク関数？ああ、平均を線形予測子に変換して結びつける関数でしょ？」

なんてサラッと言える日が来る……かもしれません（笑）

ということで、一般化線形モデル（GLM）は、

「確率分布 × リンク関数」で、いろんなデータを扱える万能モデル！

早くRで実践したいところですが、まずは事前勉強をしっかり頑張りましょう💪✨

今日も最後まで読んでいただき、ありがとうございました🌸